Aussagenlogik

Projekt im Rahmen des IMP-Profils am JKG Reutlingen

Jule Zieger, Klasse 10b

Gliederung

1. Was ist Aussagenlogik?
2. Wofür kann ich Aussagenlogik verwenden?
3. Grundlagen
4. 1. Morgansche Regel
5. 2. Morgansche Regel

Was ist Aussagenlogik?

In der Aussagenlogik arbeitet man mit Aussagen, denen einer der Wahrheitswerte zugeordnet werden kann. Wahrheitswerte können verschiedenen dargestellt werden, wahr (w) oder falsch (f) oder 1 oder 0.
Dabei ist es wichtig, dass die Aussage wirklich nur mit ja/nein beantwortet werden kann, z.Bsp 2*2=4 ist eine wahre Aussage, 2*2=5 hingegen ist eine falsche Aussage. 2*2 ist gar keine Aussage, ähnlich wie Pizza ist lecker, diese Aussage kann zwar jeder einzelne beantworten es gibt aber keine allgemeine richtige Lösung. Außerdem kann keine Aussage in der Aussagenlogik gleichzeitig wahr und falsch sein, also zwei verschieden Wahrheitswerte besitzen.

Wofür kann ich Aussagenlogik verwenden?

Die Aussagenlogik wird überall in der Informatik verwendet, ob es eine if-Verzweigung ist oder sonstige Bedingungen sind, letztendlich geht man davon aus, dass einer Bedingung ein Wahrheitswert zugeordnet wird und je nachdem welcher Wahrheitswert zutrifft erfolgen weitere Schritte.
Die Schaltalgebra, die in Klasse 9 durchgenommen wird, hat viele Ähnlichkeiten mit dem Prinzip der Aussagenlogik, lediglich die Anwendungsbereiche sind unterschiedlich.
Was mittlerweile allgegenwärtig ist sind Künstliche Intelligenzen, die zu einem großen Teil auf Aussagenlogik laufen. Für sie ist ein folgerichtiges Denken wichtig, also Schlussfolgerungen ziehen, was mit der Aussagenlogik umsetzbar ist.
Mit logischen Schlussfolgerungen kann man viele Probleme in verschiedenen Bereichen lösen, indem man sie in Aussagen umwandelt und dadurch „vereinfacht“. Dadurch ist es einfacher auf Lösung zu kommen und man optimiert die Arbeitsprozesse.
In der Mathematik werden Regeln bewiesen auch dies, ist mit der Aussagenlogik möglich, denn wahr kann nicht falsch sein.

Grundlagen und logische Operatoren

In der Aussagenlogik arbeitet man mit verschiedenen logischen Operatoren, die mehrere Aussagen in einen Zusammenhang untereinander bringen.
Bei der Konjunktion (A ∧ B) müssen die Aussagen A und B den gleichen Wahrheitswert besitzen, damit die Lösung wahr ist. Das heißt entweder sind beide Aussagen richtig oder beide Aussagen sind falsch, ansonsten ist die Aussage A ∧ B falsch.
Die Disjunktion (A ∨ B), gesprochen A oder B, ist richtig wenn mindestens einer der Aussagen den Wahrheitswert wahr besitzt. Nur wenn A und B falsch sind, ist die Aussage A ∨ B falsch.
Die Kontravalenz (A ⊕ B) heißt in der Schaltalgebra „Exklusives Oder“, damit ist das mündliche „oder“ gemeint, bei dem nur eine der zwei Aussagen richtig sein darf, wenn beide Aussagen einen anderen Wahrheitswert haben.
Die Implikation (A → B), aus A folgt B, ist nur falsch wenn aus Aussage A richtig eine falsche Aussage B folgt. Ansonsten kann B auch wahr sein, ohne dass A wahr ist, und die Aussage ist richtig. Ebenso ist die Aussage A → B richtig, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert besitzen.
Eine bikonditionale Aussage (A ↔ B), ist eine Aussage bei der sich A und B gegenseitig bedingen. Dass heißt die Aussage kann nur richtig sein wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben.

1. Morgansche Regel

Die 1. Morgansche Regel besagt, dass ¬(A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B, gesprochen nicht (A und B) ist das gleiche, wie nicht A oder nicht B.
Die Negation der Konjunktion ist gleich der Disjunktion der jeweiligen Negationen.
Wie kann das sein? Um diese Aussage zu beweisen kann man eine Wahrheitstabelle anlegen.

2. Morgansche Regel

Die 2. Morgansche Regel ¬(A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B ist das entsprechende Gegenteil zu 1. Morgansche Regel, sie besagt, dass die Negation der Disjunktion ist gleich der Konjunktion der jeweiligen Negationen.
Um diese Regel zu veranschaulichen kann man wieder eine Tabelle erstellen.